4.97. Между числами -3\sqrt{5} и 9\sqrt{5} вставьте шесть таких чисел, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию. Какой номер будет иметь число 9\sqrt{5}? Чему равна разность этой арифметической прогрессии?

1. Всего членов арифметической прогрессии будет: 6 + 2 = 8.
2. Первый член прогрессии: \[a_1 = -3\sqrt{5}\]
3. Последний член прогрессии: \[a_8 = 9\sqrt{5}\]
4. Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: \[a_n = a_1 + (n-1)d\]
5. Подставим известные значения: \[9\sqrt{5} = -3\sqrt{5} + (8-1)d\] \[9\sqrt{5} = -3\sqrt{5} + 7d\] \[12\sqrt{5} = 7d\] \[d = \frac{12\sqrt{5}}{7}\]
6. Номер числа \[9\sqrt{5}\] равен 8.

Ответ: Разность арифметической прогрессии равна \(\frac{12\sqrt{5}}{7}\), номер числа \[9\sqrt{5}\] равен 8.