4.101*. Проанализируйте условие и найдите первый член и разность арифметической прогрессии (а), если: а) а₄ + а₁₃ = 47 и ад + а₁₅ = 68; б) а₂ + а₆ = 42 и а₁₀ - а₄ = 54.

а) а₄ + а₁₃ = 47 и ад + а₁₅ = 68

1. Выразим члены прогрессии через \(a_1\) и d: \[a_4 = a_1 + 3d\] \[a_{13} = a_1 + 12d\] \[a_9 = a_1 + 8d\] \[a_{15} = a_1 + 14d\]
2. Подставим в уравнения: \[(a_1 + 3d) + (a_1 + 12d) = 47\] \[(a_1 + 8d) + (a_1 + 14d) = 68\]
3. Упростим систему уравнений: \[2a_1 + 15d = 47\] \[2a_1 + 22d = 68\]
4. Вычтем первое уравнение из второго: \[(2a_1 + 22d) - (2a_1 + 15d) = 68 - 47\] \[7d = 21\] \[d = 3\]
5. Подставим d в первое уравнение: \[2a_1 + 15(3) = 47\] \[2a_1 + 45 = 47\] \[2a_1 = 2\] \[a_1 = 1\]

б) а₂ + а₆ = 42 и а₁₀ - а₄ = 54

1. Выразим члены прогрессии через \(a_1\) и d: \[a_2 = a_1 + d\] \[a_6 = a_1 + 5d\] \[a_{10} = a_1 + 9d\] \[a_4 = a_1 + 3d\]
2. Подставим в уравнения: \[(a_1 + d) + (a_1 + 5d) = 42\] \[(a_1 + 9d) - (a_1 + 3d) = 54\]
3. Упростим систему уравнений: \[2a_1 + 6d = 42\] \[6d = 54\]
4. Из второго уравнения найдем d: \[d = \frac{54}{6}\] \[d = 9\]
5. Подставим d в первое уравнение: \[2a_1 + 6(9) = 42\] \[2a_1 + 54 = 42\] \[2a_1 = -12\] \[a_1 = -6\]

Ответ: а) \(a_1 = 1\), d = 3; б) \(a_1 = -6\), d = 9.