Н) \(\frac{5}{63} \cdot 2\frac{3}{14} + \frac{5}{63} \cdot \frac{2}{21} + \frac{58}{63} : \frac{42}{97}\)

Решение:

1. Переведём смешанное число: \(2\frac{3}{14} = \frac{2 \cdot 14 + 3}{14} = \frac{31}{14}\). Выполним первое умножение: \(\frac{5}{63} \cdot \frac{31}{14} = \frac{155}{882}\).
2. Выполним второе умножение: \(\frac{5}{63} \cdot \frac{2}{21} = \frac{10}{1323}\).
3. Выполним деление: \(\frac{58}{63} : \frac{42}{97} = \frac{58}{63} \cdot \frac{97}{42} = \frac{5626}{2646} = \frac{2813}{1323}\).
4. Сложим и вычтем: \(\frac{155}{882} + \frac{10}{1323} + \frac{2813}{1323}\).
5. \(882 = 2 \cdot 441 = 2 \cdot 21^2 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7^2\). \(1323 = 3 \cdot 441 = 3 \cdot 21^2 = 3^3 \cdot 7^2\).
6. Общий знаменатель для 882 и 1323: \(2 \cdot 3^3 \cdot 7^2 = 2 \cdot 27 \cdot 49 = 54 \cdot 49 = 2646\).
7. \(\frac{155}{882} = \frac{155 \cdot 3}{882 \cdot 3} = \frac{465}{2646}\).
8. \(\frac{10}{1323} = \frac{10 \cdot 2}{1323 \cdot 2} = \frac{20}{2646}\).
9. \(\frac{2813}{1323} = \frac{2813 \cdot 2}{1323 \cdot 2} = \frac{5626}{2646}\).
10. \(\frac{465}{2646} + \frac{20}{2646} + \frac{5626}{2646} = \frac{465+20+5626}{2646} = \frac{6111}{2646}\).
11. Сократим дробь: \(6+1+1+1 = 9\), \(2+6+4+6 = 18\). Обе суммы кратны 9, значит, числа делятся на 9. \(6111 : 9 = 679\). \(2646 : 9 = 294\). \(\frac{6111}{2646} = \frac{679}{294}\).

Ответ: \(\frac{679}{294}\)