На «3», 2 вариант. 2. Даны точки M(-1; 2; 1), P(2; -1; 1), K(0; -2; 1). Найдите скалярное произведение векторов MP и PK и косинус угла между ними. Найдите длину отрезка MK и координаты его середины.

Находим координаты векторов: \(\overrightarrow{MP}=P-M=(3;-3;0)\), \(\overrightarrow{PK}=K-P=(-2;-1;0)\).

Скалярное произведение: \(\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{PK}=3\cdot(-2)+(-3)\cdot(-1)+0=-3\).

Длины векторов равны \(|MP|=\sqrt{3^2+(-3)^2}=3\sqrt2\) и \(|PK|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt5\). Поэтому \(\cos\varphi=\frac{-3}{3\sqrt2\sqrt5}=-\frac1{\sqrt{10}}\).

\(\overrightarrow{MK}=K-M=(1;-4;0)\), значит, \(|MK|=\sqrt{1^2+(-4)^2}=\sqrt{17}\). Середина отрезка: \(\left(\frac{-1+0}{2};\frac{2+(-2)}2;\frac{1+1}2\right)=(-\frac12;0;1)\).

Ответ: \(\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{PK}=-3\), \(\cos\varphi=-1/\sqrt{10}\), \(|MK|=\sqrt{17}\), середина \((-1/2;0;1)\).