На «5», 2 вариант. Дано: ABCD — тетраэдр; AA₁ — медиана грани ABC; K ∈ AA₁, AK/KA₁ = 3/7. 1. Разложить вектор \(\overrightarrow{DK}\) по векторам \(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}\).

Пусть \(\overrightarrow{DA}=\mathbf a\), \(\overrightarrow{DB}=\mathbf b\), \(\overrightarrow{DC}=\mathbf c\). Поскольку AA₁ — медиана, A₁ — середина BC, поэтому \(\overrightarrow{DA_1}=(\mathbf b+\mathbf c)/2\).

Из отношения \(AK:KA_1=3:7\) следует, что K делит AA₁ в отношении 3:7 от A, то есть \(\overrightarrow{AK}=\frac3{10}\overrightarrow{AA_1}\). При этом \(\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{DA_1}-\overrightarrow{DA}=(\mathbf b+\mathbf c)/2-\mathbf a\).

Тогда \(\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AK}=\mathbf a+\frac3{10}((\mathbf b+\mathbf c)/2-\mathbf a)=\frac7{10}\mathbf a+\frac3{20}\mathbf b+\frac3{20}\mathbf c\).

Ответ: \(\overrightarrow{DK}=\frac7{10}\overrightarrow{DA}+\frac3{20}\overrightarrow{DB}+\frac3{20}\overrightarrow{DC}\).