На «4», 2 вариант. 3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ длина ребра равна 1, M — середина ребра A₁D₁. Используя метод координат, найдите: 1) угол между прямыми A₁C и C₁M; 2) расстояние между серединами отрезков A₁C и C₁M.

Введём координаты: \(A=(0;0;0)\), \(B=(1;0;0)\), \(D=(0;1;0)\), \(A_1=(0;0;1)\). Тогда \(C=(1;1;0)\), \(C_1=(1;1;1)\), \(D_1=(0;1;1)\), \(M=(0;1/2;1)\).

1) Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{A_1C}=(1;1;-1)\), \(\overrightarrow{C_1M}=(-1;-1/2;0)\). Их скалярное произведение равно \(-3/2\), длины — \(\sqrt3\) и \(\sqrt5/2\). Угол между прямыми берём острый, поэтому \(\cos\varphi=\frac{3/2}{\sqrt3\cdot\sqrt5/2}=\sqrt{15}/5\).

2) Середины отрезков: \(P_{A_1C}=(1/2;1/2;1/2)\), \(P_{C_1M}=(1/2;3/4;1)\). Расстояние между ними равно \(\sqrt{0^2+(1/4)^2+(1/2)^2}=\sqrt5/4\).

Ответ: 1) \(\varphi=\arccos(\sqrt{15}/5)\); 2) \(\sqrt5/4\).