На «5», 2 вариант. Дано: ABCD — тетраэдр; AA₁ — медиана грани ABC; K ∈ AA₁, AK/KA₁ = 3/7. 1. Разложить вектор DK по векторам \(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}\).

Поскольку \(AA_1\) — медиана, \(A_1\) — середина BC и \(\overrightarrow{AA_1}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}2\).

Из отношения \(AK:KA_1=3:7\) следует \(\overrightarrow{AK}=\dfrac3{10}\overrightarrow{AA_1}=\dfrac3{20}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\).

Подставим \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}\) и \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}\). Тогда \(\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AK}=\dfrac7{10}\overrightarrow{DA}+\dfrac3{20}\overrightarrow{DB}+\dfrac3{20}\overrightarrow{DC}\).

Ответ: \(\overrightarrow{DK}=\dfrac7{10}\overrightarrow{DA}+\dfrac3{20}\overrightarrow{DB}+\dfrac3{20}\overrightarrow{DC}\).