85. На медиане ВМ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отметили точку О. Докажите, что треугольник АОС равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС, медиана ВМ является также высотой и биссектрисой. Значит, ВМ перпендикулярна АС и ∠АВМ = ∠СВМ.

Точка О лежит на медиане ВМ, следовательно, она также лежит на высоте и биссектрисе.

Так как ВМ - биссектриса, то ∠АВО = ∠СВО.

Рассмотрим треугольники АВО и СВО. У них ВО - общая сторона, ∠АВО = ∠СВО, АВ = ВС (как боковые стороны равнобедренного треугольника). Значит, треугольники АВО и СВО равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что АО = СО. Значит, треугольник АОС равнобедренный, так как две его стороны равны.

Ответ: треугольник АОС равнобедренный.