3. На сторонах BC и АД прямоугольника ABCD выбраны соответственно точки М и N так, что АМСИ — ромб. Найдите сторону ромба, если AD = 18 см, а ∠ADB = 30°.

Пусть дан прямоугольник $$\,ABCD$$, на сторонах $$\,BC$$ и $$\,AD$$ выбраны точки $$\,M$$ и $$\,N$$ так, что $$\,AMCN$$ - ромб. Дано $$\,AD = 18$$ см, $$\,\angle ADB = 30^\circ$$.

Так как $$\,AMCN$$ - ромб, то $$\,AM = MC = CN = NA$$. Также, так как $$\,ABCD$$ - прямоугольник, то $$\,BC = AD = 18$$ см. Пусть $$\,O$$ - точка пересечения диагоналей ромба $$\,AMCN$$. Так как диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то $$\,AO$$ - высота и медиана треугольника $$\,AMN$$. Тогда $$\,AO \perp MN$$, следовательно, треугольник $$\,AON$$ - прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике $$\,ABD$$ $$\,\angle ABD = 90^\circ - \angle ADB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$. Так как $$\,AD = 18$$ см, то $$\,AN = \frac{AD}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ см. (По условию $$\,AMCN$$ - ромб и $$\,N$$ середина $$\,AD$$, следовательно, $$\,AN = \frac{1}{2} AD$$).

В прямоугольном треугольнике $$\,AON$$ гипотенуза $$\,AN = 9$$ см, $$\,\angle ANO = 30^\circ$$, следовательно, $$\,AO = \frac{AN}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$$ см (катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы). Так как $$\,O$$ - точка пересечения диагоналей ромба, то $$\,AM = 2AO = 2 \cdot 4.5 = 9$$ см.

Сторона ромба равна 9 см.

Ответ: 9 см