4. В углах, смежных с углами ромба, проведены биссектрисы. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.

Пусть дан ромб $$\,ABCD$$. Из углов, смежных с углами ромба, проведены биссектрисы, и при их пересечении образован четырехугольник $$\,KLMN$$.

Угол, смежный с углом $$\,BAD$$, равен $$180^\circ - \angle BAD$$. Так как $$\,AK$$ и $$\,AN$$ - биссектрисы смежных углов, то $$\,\angle BAK = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle BAD)$$, $$\,\angle NAD = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle BAD)$$. Сумма углов $$\,BAK$$ и $$\,NAD$$ равна $$180^\circ - \angle BAD$$.

Рассмотрим четырехугольник $$\,AKMN$$. В нем $$\,\angle AKN = 180^\circ - \angle BAK - \angle A = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - \angle BAD) - \angle BAD$$. После упрощения получаем $$\,\angle AKN = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle BAD)$$. Аналогично доказывается, что $$\,\angle ANK = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle BAD)$$.

Так как углы $$\,AKN$$ и $$\,ANK$$ равны, то треугольник $$\,AKN$$ - равнобедренный. Тогда $$\,\angle KAN = 180^\circ - \angle AKN - \angle ANK = 180^\circ - 2 \cdot \frac{1}{2}(180^\circ - \angle BAD) = \angle BAD$$.

Угол $$\,LKA$$ - смежный с углом $$\,AKN$$, следовательно, $$\,\angle LKA = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - \angle BAD) = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle BAD$$. Аналогично доказывается, что $$\,\angle LMA = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle BCD$$. Так как в ромбе противоположные углы равны, то $$\,\angle BAD = \angle BCD$$, следовательно, $$\,\angle LKA = \angle LMA$$. Так как $$\,AK$$ и $$\,CM$$ - биссектрисы углов, смежных с углами ромба, то $$\,\angle BAL = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle ABC)$$ и $$\,\angle MCL = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle ADC)$$.

Тогда $$\,\angle ALK = 180^\circ - \angle LKA - \angle BAL = 180^\circ - (90^\circ + \frac{1}{2}\angle BAD) - \frac{1}{2}(180^\circ - \angle ABC) = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle BAD - 90^\circ + \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2}(\angle ABC - \angle BAD)$$. Так как углы, прилежащие к одной стороне ромба, в сумме составляют $$180^\circ$$, то $$\,\angle ABC + \angle BAD = 180^\circ$$, откуда $$\,\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD$$.

Тогда $$\,\angle ALK = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle BAD - \angle BAD) = 90^\circ - \angle BAD$$. Сумма углов в четырехугольнике равна $$360^\circ$$, следовательно, $$\,\angle KAL + \angle ALK + \angle LMN + \angle MNK = 360^\circ$$. Подставляя известные значения, получаем $$\,\angle KAN + \angle ALK + \angle LMN + \angle MNK = 360^\circ$$ $$\,\angle BAD + \frac{1}{2}(\angle ABC - \angle BAD) + \frac{1}{2}(\angle ABC - \angle BAD) + \frac{1}{2}(\angle BCD - \angle ADC) = 360^\circ$$ После упрощения получаем $$\,\angle BAD + \frac{1}{2}(180^\circ - \angle BAD - \angle BAD) + \frac{1}{2}(180^\circ - \angle BAD - \angle BAD) + \frac{1}{2}(180^\circ - \angle BAD - \angle BAD) = 360^\circ$$ $$\,\angle BAD + 90^\circ - \frac{1}{2}\angle BAD + 90^\circ - \frac{1}{2}\angle BAD + 90^\circ - \frac{1}{2}\angle BAD = 360^\circ$$ $$\Rightarrow \,270^\circ - \frac{1}{2}\angle BAD = 360^\circ$$ $$\Rightarrow \,\frac{1}{2}\angle BAD = 90^\circ$$ $$\Rightarrow \,\angle BAD = 90^\circ$$.

Следовательно, $$\,KLMN$$ - прямоугольник.

Ответ: Доказано, что при пересечении образуется прямоугольник.