4. В прямоугольнике проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется квадрат.

Пусть дан прямоугольник $$\,ABCD$$. Из каждой вершины проведены биссектрисы углов. Рассмотрим четырехугольник $$\,KLMN$$, образованный точками пересечения биссектрис.

В прямоугольнике все углы равны $$90^\circ$$. Биссектрисы делят эти углы пополам, поэтому углы $$\,DAL$$, $$\,ADL$$, $$\,BCM$$, $$\,CBM$$ равны $$45^\circ$$. В треугольнике $$\,ADL$$ сумма углов равна $$180^\circ$$, тогда $$\,\angle DLA = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$$. Следовательно, $$\,\angle KLN = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$ (как смежные углы).

Аналогично доказывается, что $$\,\angle LMN = \angle MNK = \angle NKL = 90^\circ$$. Следовательно, $$\,KLMN$$ - прямоугольник. Докажем, что он является квадратом. Рассмотрим треугольники $$\,ABK$$ и $$\,CDK$$. В них $$\,\angle BAK = \angle DCK = 45^\circ$$ и $$\,\angle ABK = \angle CDK = 45^\circ$$. Тогда треугольники $$\,ABK$$ и $$\,CDK$$ - равнобедренные, и $$\,AK = BK$$ и $$\,CK = DK$$. Следовательно, $$\,AK = DK$$, и $$\,BK = CK$$.

Тогда $$\,AD = AK + KD = 2AK$$ и $$\,BC = BK + KC = 2BK$$. Так как $$\,AD = BC$$, то $$\,2AK = 2BK$$, следовательно, $$\,AK = BK$$. Аналогично доказывается, что $$\,BL = CL$$ и $$\,CM = DM$$ и $$\,AN = DN$$.

Тогда $$\,KL = AB - AK - BL$$ и $$\,MN = CD - CM - DN$$. Так как $$\,AB = CD$$, $$\,AK = BK$$, $$\,CL = DL$$ и $$\,AN = BN$$, то $$\,KL = MN$$. Следовательно, в прямоугольнике $$\,KLMN$$ все стороны равны, и он является квадратом.

Ответ: Доказано, что при пересечении биссектрис углов прямоугольника образуется квадрат.