9. На сторонах угла ВАС, равного 20°, и на его биссектрисе отложены равные отрезки АВ, АС и AD. Определите величину угла BDC.

Дано: ∠BAC = 20°, AB = AC = AD. Нужно найти ∠BDC.

Т.к. AD - биссектриса, то ∠BAD = ∠CAD = 20°/2 = 10°.

Т.к. AB = AD, то треугольник ABD равнобедренный. Значит, ∠ABD = ∠ADB = (180° - 10°)/2 = 170°/2 = 85°.

Т.к. AC = AD, то треугольник ACD равнобедренный. Значит, ∠ACD = ∠ADC = (180° - 10°)/2 = 170°/2 = 85°.

∠BDC = ∠ADC - ∠ADB = 85° - 85°

Рассмотрим треугольник ADC, AD=AC, значит углы при основании DC равны, ∠ADC = ∠ACD = (180-10)/2 = 85 градусов.

∠BDC = ∠ADC - ∠ADB,

угол ADB = (180-10)/2 = 85 градусов (как углы при основании равнобедренного треугольника ABD).

По теореме о внешнем угле треугольника, угол ADB = углу DBC + углу BCD.

Пусть угол BDC = х, тогда угол BCD = 10+х.

Получаем уравнение: 85 = угол DBC + 10 + х.

Отсюда угол DBC = 75-х.

Далее, по теореме о сумме углов треугольника BDC,

180 = х + 10 + х + 75-х.

Решаем уравнение: 180 = х + 85.

Получаем х = 95 градусов.

Ответ: 95°