10. Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 27. Найдите площадь это прямоугольника.

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Периметр P = 2(a + b) = 56, следовательно, a + b = 28.

Диагональ прямоугольника равна d = 27. По теореме Пифагора, $$a^2 + b^2 = d^2 = 27^2 = 729$$.

Имеем систему уравнений:

$$a + b = 28$$

$$a^2 + b^2 = 729$$

Из первого уравнения выразим b: b = 28 - a.

Подставим во второе уравнение:

$$a^2 + (28 - a)^2 = 729$$

$$a^2 + (784 - 56a + a^2) = 729$$

$$2a^2 - 56a + 784 - 729 = 0$$

$$2a^2 - 56a + 55 = 0$$

$$a^2 - 28a + 27.5 = 0$$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-28)^2 - 4(1)(27.5) = 784 - 110 = 674$$

$$a = \frac{-(-28) \pm \sqrt{674}}{2(1)} = \frac{28 \pm \sqrt{674}}{2}$$

$$a_1 = \frac{28 + \sqrt{674}}{2} \approx 26.99 \; a_2= \frac{28 - \sqrt{674}}{2} \approx 1.01$$

Тогда, соответственно:

$$b_1 = 28-a_1= 28 -26.99 = 1.01 \, b_2= 28-a_2= 28-1.01=26.99$$

Площадь прямоугольника равна: $$ S = a*b = 26.99 *1.01=27.26$$

Ответ: 27.26