969 Напишите уравнение окружности с диаметром ММ, если: a) M (-3; 5), N (7; -3); б) M (2; −1), N (4; 3).

а) Если M(-3; 5) и N(7; -3) являются концами диаметра окружности, то центр окружности O является серединой отрезка MN. Координаты центра O можно найти как среднее арифметическое координат точек M и N: $$O_x = \frac{M_x + N_x}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$O_y = \frac{M_y + N_y}{2} = \frac{5 + (-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ Итак, центр окружности O(2; 1). Радиус r равен половине длины диаметра MN: $$r = \frac{MN}{2} = \frac{\sqrt{(7 - (-3))^2 + (-3 - 5)^2}}{2} = \frac{\sqrt{10^2 + (-8)^2}}{2} = \frac{\sqrt{100 + 64}}{2} = \frac{\sqrt{164}}{2} = \frac{\sqrt{4 \cdot 41}}{2} = \frac{2\sqrt{41}}{2} = \sqrt{41}$$ Уравнение окружности с центром O(2; 1) и радиусом $$\sqrt{41}$$ имеет вид: $$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{41})^2$$ $$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 41$$ б) Если M(2; -1) и N(4; 3) являются концами диаметра окружности, то центр окружности O является серединой отрезка MN. Координаты центра O можно найти как среднее арифметическое координат точек M и N: $$O_x = \frac{M_x + N_x}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$O_y = \frac{M_y + N_y}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ Итак, центр окружности O(3; 1). Радиус r равен половине длины диаметра MN: $$r = \frac{MN}{2} = \frac{\sqrt{(4 - 2)^2 + (3 - (-1))^2}}{2} = \frac{\sqrt{2^2 + 4^2}}{2} = \frac{\sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{\sqrt{20}}{2} = \frac{\sqrt{4 \cdot 5}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$$ Уравнение окружности с центром O(3; 1) и радиусом $$\sqrt{5}$$ имеет вид: $$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{5})^2$$ $$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$$ Ответ: a) $$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 41$$, б) $$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$$