Найдите cos α , если sinα = √2/2, 0 < α < π/2

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

Подставим известное значение \( \sin \alpha \):

\[ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \]

\[ \frac{2}{4} + \cos^2 \alpha = 1 \]

\[ \frac{1}{2} + \cos^2 \alpha = 1 \]

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{2} \]

\[ \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \]

Извлечем квадратный корень:

\[ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \]

По условию \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), это означает, что \( \alpha \) находится в первой четверти, где косинус положителен. Поэтому выбираем положительное значение.

Ответ: \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \)