Найдите наименьшее значение функции y = 13x - 9sinx + 9 на отрезке [0, π/2].

Решение:

Найдем производную функции \( y = 13x - 9\sin x + 9 \):

\[ y' = (13x - 9\sin x + 9)' = 13 - 9\cos x \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 13 - 9\cos x = 0 \]

\[ 9\cos x = 13 \]

\[ \cos x = \frac{13}{9} \]

Так как \( \frac{13}{9} > 1 \), то уравнение \( \cos x = \frac{13}{9} \) не имеет решений. Следовательно, критических точек на интервале нет.

Значение функции будет достигаться на концах отрезка \( [0, \frac{\pi}{2}] \). Найдем значения функции в этих точках:

При \( x = 0 \):

\[ y(0) = 13 \cdot 0 - 9\sin 0 + 9 = 0 - 9 \cdot 0 + 9 = 9 \]

При \( x = \frac{\pi}{2} \):

\[ y(\frac{\pi}{2}) = 13 \cdot \frac{\pi}{2} - 9\sin \frac{\pi}{2} + 9 = \frac{13\pi}{2} - 9 \cdot 1 + 9 = \frac{13\pi}{2} - 9 + 9 = \frac{13\pi}{2} \]

Сравним значения: \( 9 \) и \( \frac{13\pi}{2} \). Так как \( \pi \approx 3.14 \), то \( \frac{13\pi}{2} \approx \frac{13 \cdot 3.14}{2} = \frac{40.82}{2} = 20.41 \).

\( 9 < 20.41 \), значит, наименьшее значение равно 9.

Ответ: 9