588 Найдите горону и площадь равнобедренного тре- угольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведён- ная к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°; в) треугольник пря- моугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см.

a) Дано: равнобедренный треугольник, основание равно $$a = 12 \text{ см}$$, высота, проведенная к основанию, равна $$h = 8 \text{ см}$$.

Найти: сторону и площадь треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию:

$$S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \text{ см}^2$$

Пусть боковая сторона равна b. Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является и медианой, то есть делит основание пополам. Тогда половина основания равна 6 см. По теореме Пифагора:

$$b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$$ $$b = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$

Ответ: площадь треугольника равна $$48 \text{ см}^2$$, боковая сторона равна $$10 \text{ см}$$

б) Дано: равнобедренный треугольник, основание равно $$a = 18 \text{ см}$$, угол, противолежащий основанию, равен $$120^\circ$$.

Найти: сторону и площадь треугольника.

Решение:

Углы при основании равны: $$\frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$$

Опустим высоту на основание. Она разделит угол при вершине пополам, и получится угол $$60^\circ$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной. Обозначим боковую сторону за b. Тогда:

$$\sin 60^\circ = \frac{\frac{a}{2}}{b} = \frac{9}{b}$$ $$b = \frac{9}{\sin 60^\circ} = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \text{ см}$$

Высота:

$$h = b \cos 60^\circ = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt{3} \text{ см}$$

Площадь:

$$S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3} \text{ см}^2$$

Ответ: боковая сторона равна $$6\sqrt{3} \text{ см}$$, площадь равна $$27\sqrt{3} \text{ см}^2$$.

в) Дано: прямоугольный треугольник, высота, проведенная к гипотенузе, равна $$h = 7 \text{ см}$$. Треугольник прямоугольный, но ничего не сказано о его свойствах (равнобедренный или нет). Недостаточно данных для нахождения стороны и площади треугольника.

Ответ: недостаточно данных.