589 По данным катетам а и в прямоугольного треугольника най- дите высоту, проведённую к гипотенузе: a) a = 5, 6=12;6) a = 12, b=16.

а) Дано: прямоугольный треугольник с катетами $$a = 5 \text{ см}$$, $$b = 12 \text{ см}$$.

Найти: высоту, проведенную к гипотенузе.

Решение:

Гипотенуза равна:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$$

Площадь треугольника равна:

$$S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \text{ см}^2$$

Также площадь можно найти, как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней:

$$S = \frac{1}{2} c h$$ $$30 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h$$ $$h = \frac{60}{13} \approx 4.62 \text{ см}$$

Ответ: $$h = \frac{60}{13} \approx 4.62 \text{ см}$$.

б) Дано: прямоугольный треугольник с катетами $$a = 12 \text{ см}$$, $$b = 16 \text{ см}$$.

Найти: высоту, проведенную к гипотенузе.

Решение:

Гипотенуза равна:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ см}$$

Площадь треугольника равна:

$$S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 \text{ см}^2$$

Также площадь можно найти, как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней:

$$S = \frac{1}{2} c h$$ $$96 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot h$$ $$h = \frac{192}{20} = 9.6 \text{ см}$$

Ответ: $$h = 9.6 \text{ см}$$.