593 Найдите площадь трапеции АBCD с основаниями АВ и СД, если: а) АВ = 10 см, ВС = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C=∠D= = 60°, AB = BC = 8 см; в) ∠C = ∠D = 45°, АВ = 6 см, ВС = 9√2 см.

а) Дано: трапеция ABCD, AB = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см.

Найти: площадь трапеции.

Решение:

Трапеция равнобедренная. Опустим высоты BH и AK на основание CD. Тогда HK = AB = 10 см, а DH = KC = (20 - 10) / 2 = 5 см.

Высота трапеции равна:

$$h = \sqrt{BC^2 - KC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

Площадь трапеции равна:

$$S = \frac{AB + CD}{2} h = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180 \text{ см}^2$$

Ответ: площадь трапеции равна 180 $$ \text{ см}^2$$.

б) Дано: трапеция ABCD, ∠C = ∠D = 60°, AB = BC = 8 см.

Найти: площадь трапеции.

Решение:

Трапеция равнобедренная. BC=AD = 8 cм. Опустим высоты BH и AK на основание CD. Рассмотрим треугольник BHC. Он прямоугольный, угол С равен 60 градусов, угол HBC = 30 градусов. BC= 8 см. HC = 1/2 *BC = 4 cм. Высота BH = \sqrt{BC^2 - HC^2} = \sqrt{64-16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} cм. AK=BH=4\sqrt{3}

Т.к. AB = 8, то HK = 8 cм . CD = CH+HK+KD, т.к. KD=HC, то CD= 8+ 4 +4 =16. Площадь трапеции равна S = (AB+CD)/2 *h= (8+16)/2*4\sqrt{3}=12*4\sqrt{3}=48\sqrt{3}

Ответ: площадь трапеции равна $$48\sqrt{3} \text{ см}^2$$.

в) Дано: трапеция ABCD, ∠C = ∠D = 45°, AB = 6 см, BC = 9√2 см.

Найти: площадь трапеции.

Решение:

Трапеция равнобедренная. Опустим высоты BH и AK на основание CD. Рассмотрим треугольник BHC. Он прямоугольный, угол С равен 45 градусов, значит, и угол HBC = 45 градусов, т.е. треугольник равнобедренный, BH=HC. Пусть BH = x. Тогда по теореме Пифагора x^2+x^2 = (9\sqrt{2})^2, 2x^2 = 81*2, x^2 = 81, x=9. BH=9, AK=9, HC=9, KD=9. AK=BH. CD = CH+HK+KD, т.к. HK=AB, то CD = 9+6+9 = 24. S= (AB+CD)/2 *H = (6+24)/2 *9= 15*9=135

Ответ: площадь трапеции равна $$135 \text{ см}^2$$.