461. Найдите корни уравнения и покажите их примерное расположение на координатной прямой: 16) (x² + 4x)² - 4(x² + 4x) - 5 = 0.

б) Решим уравнение $$(x^2 + 4x)^2 - 4(x^2 + 4x) - 5 = 0$$.

Пусть $$t = x^2 + 4x$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 4t - 5 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$

$$t_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

$$t_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Возвращаемся к замене:

1) $$x^2 + 4x = 5$$

$$x^2 + 4x - 5 = 0$$

$$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$

$$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

2) $$x^2 + 4x = -1$$

$$x^2 + 4x + 1 = 0$$

$$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$$

$$x_3 = \frac{-4 + \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 + 2\sqrt{3}}{2} = -2 + \sqrt{3}$$, $$x_4 = \frac{-4 - \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 - 2\sqrt{3}}{2} = -2 - \sqrt{3}$$

Примерное расположение корней на координатной прямой:

<-><--------><------><---->
 -5 -2-sqrt(3) -2+sqrt(3) 1

Ответ: 1, -5, $$-2 + \sqrt{3}$$, $$-2 - \sqrt{3}$$