460. Решите уравнение (введите подходящую замену): a) (x² - x - 1)² – 10(x² - x - 1) + 9 = 0;

а) Решим уравнение $$(x^2 - x - 1)^2 - 10(x^2 - x - 1) + 9 = 0$$.

Пусть $$t = x^2 - x - 1$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 10t + 9 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64$$

$$t_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$t_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Возвращаемся к замене:

1) $$x^2 - x - 1 = 9$$

$$x^2 - x - 10 = 0$$

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 1 + 40 = 41$$

$$x_1 = \frac{1 + \sqrt{41}}{2}$$, $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{41}}{2}$$

2) $$x^2 - x - 1 = 1$$

$$x^2 - x - 2 = 0$$

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

$$x_3 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$x_4 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Ответ: $$\frac{1 + \sqrt{41}}{2}$$, $$\frac{1 - \sqrt{41}}{2}$$, 2, -1