461. Найдите корни уравнения и покажите их примерное расположение на координатной прямой: a) (x² - 2x + 1)² - 11(x² - 2x + 1) + 30 = 0;

а) Решим уравнение $$(x^2 - 2x + 1)^2 - 11(x^2 - 2x + 1) + 30 = 0$$.

Пусть $$t = x^2 - 2x + 1$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 11t + 30 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$$

$$t_1 = \frac{11 + \sqrt{1}}{2} = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

$$t_2 = \frac{11 - \sqrt{1}}{2} = \frac{11 - 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Возвращаемся к замене:

1) $$x^2 - 2x + 1 = 6$$

$$x^2 - 2x - 5 = 0$$

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$$

$$x_1 = \frac{2 + \sqrt{24}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{6}}{2} = 1 + \sqrt{6}$$, $$x_2 = \frac{2 - \sqrt{24}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{6}}{2} = 1 - \sqrt{6}$$

2) $$x^2 - 2x + 1 = 5$$

$$x^2 - 2x - 4 = 0$$

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$$

$$x_3 = \frac{2 + \sqrt{20}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{2} = 1 + \sqrt{5}$$, $$x_4 = \frac{2 - \sqrt{20}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{5}}{2} = 1 - \sqrt{5}$$

Примерное расположение корней на координатной прямой:

<-> <--------> <-> <-------->
1-sqrt(6)  1-sqrt(5)  1+sqrt(5) 1+sqrt(6)

Ответ: $$1 + \sqrt{6}$$, $$1 - \sqrt{6}$$, $$1 + \sqrt{5}$$, $$1 - \sqrt{5}$$