460. Решите уравнение (введите подходящую замену): 6) (x² - 4x + 3)² + 6(x² - 4x + 6) – 34 = 0.

б) Решим уравнение $$(x^2 - 4x + 3)^2 + 6(x^2 - 4x + 6) - 34 = 0$$.

Преобразуем уравнение:

$$ (x^2 - 4x + 3)^2 + 6(x^2 - 4x + 3 + 3) - 34 = 0$$

$$ (x^2 - 4x + 3)^2 + 6(x^2 - 4x + 3) + 18 - 34 = 0$$

$$ (x^2 - 4x + 3)^2 + 6(x^2 - 4x + 3) - 16 = 0$$

Пусть $$t = x^2 - 4x + 3$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 + 6t - 16 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$$

$$t_1 = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$t_2 = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$

Возвращаемся к замене:

1) $$x^2 - 4x + 3 = 2$$

$$x^2 - 4x + 1 = 0$$

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$$

$$x_1 = \frac{4 + \sqrt{12}}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$$, $$x_2 = \frac{4 - \sqrt{12}}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$$

2) $$x^2 - 4x + 3 = -8$$

$$x^2 - 4x + 11 = 0$$

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 16 - 44 = -28$$

Т.к. дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: $$2 + \sqrt{3}$$, $$2 - \sqrt{3}$$