18) Найдите наибольшее целое значение переменной $$a$$, при котором имеет смысл выражение $$\sqrt{24+5a-a^2}+\sqrt{2a^2-19a+35}$$

Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными:

$$\begin{cases} 24 + 5a - a^2 \ge 0 \\ 2a^2 - 19a + 35 \ge 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство:

$$24 + 5a - a^2 \ge 0$$

$$-a^2 + 5a + 24 \ge 0$$

$$a^2 - 5a - 24 \le 0$$

Найдем корни квадратного трехчлена:

$$a^2 - 5a - 24 = 0$$

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$$

$$a_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 11}{2} = 8$$

$$a_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 11}{2} = -3$$

$$(a - 8)(a + 3) \le 0$$

Решением неравенства является отрезок $$[-3; 8]$$.

Решим второе неравенство:

$$2a^2 - 19a + 35 \ge 0$$

Найдем корни квадратного трехчлена:

$$2a^2 - 19a + 35 = 0$$

$$D = (-19)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 35 = 361 - 280 = 81$$

$$a_1 = \frac{-(-19) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{19 + 9}{4} = 7$$

$$a_2 = \frac{-(-19) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{19 - 9}{4} = 2.5$$

$$2(a - 7)(a - 2.5) \ge 0$$

$$(a - 7)(a - 2.5) \ge 0$$

Решением неравенства являются промежутки $$(-\infty; 2.5] \cup [7; +\infty)$$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$$\begin{cases} a \in [-3; 8] \\ a \in (-\infty; 2.5] \cup [7; +\infty) \end{cases}$$

Решением является объединение отрезков $$[-3; 2.5] \cup [7; 8]$$.

Наибольшее целое значение переменной $$a$$, при котором выражение имеет смысл, равно 8.

Ответ: 8