23) $$\frac{\sqrt{2x^2+x-15}}{4x+15}$$

Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, и знаменатель не был равен нулю:

$$\begin{cases} 2x^2+x-15 \ge 0 \\ 4x+15
e 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство:

$$2x^2+x-15 \ge 0$$

Найдем корни квадратного трехчлена:

$$2x^2 + x - 15 = 0$$

$$D = (1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121$$

$$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 11}{4} = \frac{5}{2}$$

$$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 11}{4} = -3$$

$$2(x - \frac{5}{2})(x + 3) \ge 0$$

$$(x - \frac{5}{2})(x + 3) \ge 0$$

$$x \in (-\infty; -3] \cup [\frac{5}{2}; +\infty)$$

Решим второе условие:

$$4x+15
e 0$$

$$4x
e -15$$

$$x
e -\frac{15}{4}$$

Теперь найдем пересечение решений:

$$\begin{cases} x \in (-\infty; -3] \cup [\frac{5}{2}; +\infty) \\ x
e -\frac{15}{4} \end{cases}$$

Решением является объединение промежутков $$(-\infty; -\frac{15}{4}) \cup (-\frac{15}{4}; -3] \cup [\frac{5}{2}; +\infty)$$.

Ответ: $$x \in (-\infty; -\frac{15}{4}) \cup (-\frac{15}{4}; -3] \cup [\frac{5}{2}; +\infty)$$