Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8, а боковое ребро равно √41.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \).

1. Основание — правильный четырехугольник (квадрат) со стороной \( a = 8 \). Площадь основания: \( S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64 \).
2. Чтобы найти высоту \( h \), рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром.
3. Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \).
4. Половина диагонали основания \( \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \).
5. По теореме Пифагора: \( h^2 + (\frac{d}{2})^2 = l^2 \), где \( l \) — боковое ребро.
6. \( h^2 + (4\sqrt{2})^2 = (\sqrt{41})^2 \)
7. \( h^2 + (16 \cdot 2) = 41 \)
8. \( h^2 + 32 = 41 \)
9. \( h^2 = 41 - 32 = 9 \)
10. \( h = \sqrt{9} = 3 \).
11. Теперь вычислим объем пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 3 = 64 \).

Ответ: 64.