В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребра ВС, ВА и диагональ ВС1 боковой грани равны соответственно 5, 7 и √34. Найдите объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле \( V = a \cdot b \cdot c \), где \( a \), \( b \), \( c \) — его измерения.

Из условия задачи имеем:

• \( BC = a = 5 \) (длина параллелепипеда).
• \( BA = b = 7 \) (ширина параллелепипеда).
• Диагональ боковой грани \( BC_1 = \sqrt{34} \).

Боковая грань — это прямоугольник \( BCC_1B_1 \). Диагональ \( BC_1 \) соединяет вершины \( B \) и \( C_1 \). В этом прямоугольнике известны сторона \( BC = 5 \) и диагональ \( BC_1 = \sqrt{34} \). Третьим измерением параллелепипеда является высота \( BB_1 \) (или \( CC_1 \)), которая является стороной боковой грани \( BCC_1B_1 \).

Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника \( BCC_1 \): \( BC^2 + CC_1^2 = BC_1^2 \).

• \( 5^2 + CC_1^2 = (\sqrt{34})^2 \)
• \( 25 + CC_1^2 = 34 \)
• \( CC_1^2 = 34 - 25 = 9 \)
• \( CC_1 = \sqrt{9} = 3 \).

Таким образом, третье измерение параллелепипеда \( c = CC_1 = 3 \).

Вычислим объем параллелепипеда: \( V = a \cdot b \cdot c = 5 \cdot 7 \cdot 3 = 105 \).

Ответ: 105.