Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 14, а боковые ребра равны 25. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l \), где \( P_{осн} \) — периметр основания, а \( l \) — апофема (высота боковой грани).

В данном случае нам даны боковые ребра \( L = 25 \), а для нахождения апофемы \( l \) нам нужно найти высоту основания \( h_{осн} \).

1. Основание — правильный треугольник со стороной \( a = 14 \).
2. Периметр основания: \( P_{осн} = 3a = 3 \cdot 14 = 42 \).
3. Чтобы найти апофему \( l \), рассмотрим боковую грань (равнобедренный треугольник) и проведем в ней высоту (апофему \( l \)). Она делит основание грани (сторону треугольника) пополам.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром \( L \), апофемой \( l \) и половиной стороны основания \( \frac{a}{2} \).
5. \( (\frac{a}{2})^2 + l^2 = L^2 \)
6. \( (\frac{14}{2})^2 + l^2 = 25^2 \)
7. \( 7^2 + l^2 = 625 \)
8. \( 49 + l^2 = 625 \)
9. \( l^2 = 625 - 49 = 576 \)
10. \( l = \sqrt{576} = 24 \) (апофема).
11. Теперь найдем площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 24 = 21 \cdot 24 = 504 \).

Ответ: 504.