Найдите общий вид первообразных для функции f(x) = (2x-3)^5

Решение:

Для нахождения первообразной функции \( f(x) = (2x-3)^5 \), применим метод замены переменной или непосредственно правило интегрирования для \( (ax+b)^n \).

Пусть \( u = 2x - 3 \). Тогда \( du = 2 dx \), или \( dx = \frac{1}{2} du \).

Интеграл станет:

• \( \int u^5 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^5 du \)
• \( \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5+1}}{5+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{u^6}{12} + C \)

Подставим обратно \( u = 2x - 3 \):

• \( F(x) = \frac{(2x-3)^6}{12} + C \)

Альтернативно, используя правило \( \int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C \):

• \( \int (2x-3)^5 dx = \frac{(2x-3)^{5+1}}{2(5+1)} + C = \frac{(2x-3)^6}{2 \cdot 6} + C = \frac{(2x-3)^6}{12} + C \)

Финальный ответ:

Ответ: \( F(x) = \frac{(2x-3)^6}{12} + C \)