Найдите общий вид первообразных для функции f(x) = x - 2/x^5 + cos x

Решение:

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = x - \frac{2}{x^5} + \cos x \), проинтегрируем каждый член:

• Интеграл от \( x \): \( \int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2} \)
• Интеграл от \( -\frac{2}{x^5} \) (что равно \( -2x^{-5} \)): \( \int -2x^{-5} dx = -2 \frac{x^{-5+1}}{-5+1} = -2 \frac{x^{-4}}{-4} = \frac{1}{2}x^{-4} = \frac{1}{2x^4} \)
• Интеграл от \( \cos x \): \( \int \cos x dx = \sin x \)

Общая первообразная — это сумма этих частей с константой \( C \):

• \( F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^4} + \sin x + C \)

Финальный ответ:

Ответ: \( F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^4} + \sin x + C \)