1186 Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников – вписанного в окружность и описанного около неё.

Пусть радиус окружности равен R. 1. Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность: Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности: $$a_6 = R$$ Площадь правильного шестиугольника: $$S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2} R^2$$ 2. Площадь правильного шестиугольника, описанного около окружности: Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник: $$r = R$$ Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности: $$b_6 = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$$ Площадь правильного шестиугольника: $$S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} b_6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} (\frac{2R}{\sqrt{3}})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4R^2}{3} = 2\sqrt{3} R^2$$ 3. Отношение площадей: $$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2} R^2}{2\sqrt{3} R^2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} : 2\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{4}$$ Ответ: 3:4