1183 Найдите площадь S правильного п-угольника, если: а) п = 4, R = 3√2 см; б) п =3, Р = 24 см; в) п=6, г=9 см; г) п=8, г = 5√3 см.

а) n = 4, R = 3√2 см Правильный четырехугольник - это квадрат. Сторона квадрата равна $$a_4 = R\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6 \text{ см}$$ Площадь квадрата: $$S = a_4^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2$$ б) n = 3, P = 24 см Правильный треугольник. Сторона треугольника: $$a_3 = \frac{P}{3} = \frac{24}{3} = 8 \text{ см}$$ Площадь правильного треугольника: $$S = \frac{a_3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 16 \sqrt{3} \text{ см}^2$$ в) n = 6, r = 9 см Площадь правильного шестиугольника: $$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_6^2$$ Найдем сторону шестиугольника: $$a_6 = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 9}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18 \sqrt{3}}{3} = 6 \sqrt{3} \text{ см}$$ Площадь правильного шестиугольника: $$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} (6\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 36 \cdot 3 = 3 \sqrt{3} \cdot 18 \cdot 3 = 162 \sqrt{3} \text{ см}^2$$ г) n = 8, r = 5√3 см Площадь правильного восьмиугольника: $$S = 2(1+\sqrt{2})a_8^2$$ Найдем сторону восьмиугольника: $$a_8 = r \sqrt{2(\sqrt{2}-1)} = 5\sqrt{3} \sqrt{2(\sqrt{2}-1)} = 5 \sqrt{6(\sqrt{2}-1)} \text{ см}$$ Площадь правильного восьмиугольника: $$S = 2(1+\sqrt{2}) (5 \sqrt{6(\sqrt{2}-1)})^2 = 2(1+\sqrt{2}) \cdot 25 \cdot 6(\sqrt{2}-1) = 300 (1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1) = 300 (2-1) = 300 \text{ см}^2$$ Ответ: а) 36 см², б) $$16 \sqrt{3} \text{ см}^2$$, в) $$162 \sqrt{3} \text{ см}^2$$, г) 300 см²