1178 Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, радужно см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

Для решения задачи необходимо знать радиус окружности, описанной около правильного треугольника. Поскольку радиус не указан, примем его равным R. 1. Найдем сторону правильного треугольника, вписанного в окружность: $$a_3 = R\sqrt{3}$$ Периметр правильного треугольника равен: $$P = 3a_3 = 3R\sqrt{3} = 18 \text{ см}$$ Отсюда выразим радиус окружности: $$R = \frac{18}{3\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}$$ 2. Найдем сторону квадрата, вписанного в ту же окружность. Диагональ квадрата равна диаметру окружности: $$d = 2R = 4\sqrt{3}$$ Сторона квадрата: $$a_4 = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6} \text{ см}$$ Ответ: $$2\sqrt{6} \text{ см}$$