Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 16.

Решение:

Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата равна диаметру окружности.

Диаметр окружности \( d = 2r = 2 \cdot 16 = 32 \).

Диагональ квадрата \( d = 32 \).

Сторона квадрата \( a \) связана с диагональю \( d \) формулой \( d = a\sqrt{2} \).

\( a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{32}{\sqrt{2}} = \frac{32\sqrt{2}}{2} = 16\sqrt{2} \).

Площадь квадрата \( S = a^2 \).

\( S = (16\sqrt{2})^2 = 16^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 256 \cdot 2 = 512 \).

Ответ: 512