Найдите площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8, а высота равна 3.

Площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды складывается из площади основания и площади боковой поверхности.

1. Найдем площадь основания (квадрата):

$$S_{осн} = сторона^2 = 8^2 = 64$$

2. Найдем апофему (высоту боковой грани) по теореме Пифагора. Апофема (a) является гипотенузой прямоугольного треугольника, где один катет - высота пирамиды (h), а другой катет - половина стороны основания (сторона основания/2).

$$a = \sqrt{h^2 + (сторона\,основания/2)^2}$$ $$a = \sqrt{3^2 + (8/2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

3. Найдем площадь одной боковой грани (равнобедренного треугольника):

$$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot сторона\,основания \cdot апофема$$ $$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20$$

4. Поскольку пирамида правильная четырехугольная, у нее 4 одинаковые боковые грани. Найдем площадь боковой поверхности:

$$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 20 = 80$$

5. Найдем площадь полной поверхности:

$$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 64 + 80 = 144$$

Ответ: 144