Высота треугольной пирамиды равна 15, а высоты боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны 17. Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 144.

1. Площадь боковой поверхности пирамиды можно выразить как сумму площадей боковых граней:

$$S_{бок} = \frac{1}{2} a_1 h + \frac{1}{2} a_2 h + \frac{1}{2} a_3 h = \frac{1}{2} h (a_1 + a_2 + a_3)$$

где a₁, a₂, a₃ - стороны основания, h - высота боковых граней (апофема).

2. Так как все высоты боковых граней равны 17, то:

$$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot (a_1 + a_2 + a_3)$$

3. Периметр основания равен 144, значит:

$$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 144 = 17 \cdot 72 = 1224$$

4. Объем пирамиды можно выразить двумя способами:

$$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} r S_{бок}$$

где H - высота пирамиды, r - радиус вписанной в основание окружности.

5. Выразим радиус вписанной окружности:

$$r = \frac{S_{осн} H}{S_{бок}}$$

6. Площадь основания можно выразить через полупериметр и радиус вписанной окружности:

$$S_{осн} = p r = \frac{P}{2} r$$

где P - периметр основания.

7. Подставим выражение для радиуса:

$$S_{осн} = \frac{P}{2} \cdot \frac{S_{осн} H}{S_{бок}} \Rightarrow 1 = \frac{P H}{2 S_{бок}} \Rightarrow S_{бок} = \frac{P H}{2}$$

8. Площадь боковой поверхности выразили ранее:

$$S_{бок} = \frac{1}{2} h (a_1 + a_2 + a_3) = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 144 = 1224$$

9. Теперь используем другой способ найти площадь боковой поверхности:

$$S_{бок} = \frac{P H}{2} = \frac{144 \cdot 15}{2} = 72 \cdot 15 = 1080$$

10. Получили противоречие, значит, площади боковой поверхности не равны, а высоты боковых граней не равны апофеме. Из условия задачи следует, что апофемы равны, а значит, не все стороны основания равны. Данных в задаче недостаточно.

Ответ: недостаточно данных