Высота правильной треугольной пирамиды равна 3, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите площадь $$S$$ боковой поверхности пирамиды. В ответе запишите $$\frac{S}{\sqrt{6}}$$.

1. Найдем сторону основания (a). Так как двугранный угол при основании равен 45°, то высота пирамиды равна радиусу вписанной в основание окружности.

$$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

2. По условию высота пирамиды равна 3, значит, радиус вписанной в основание окружности тоже равен 3.

$$3 = \frac{a\sqrt{3}}{6} \Rightarrow a = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$$

3. Найдем апофему (h) по теореме Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, высотой пирамиды и радиусом вписанной в основание окружности. Апофема является гипотенузой:

$$h = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

4. Площадь одной боковой грани:

$$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2} = 9\sqrt{6}$$

5. Так как пирамида правильная треугольная, у нее 3 боковые грани:

$$S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot 9\sqrt{6} = 27\sqrt{6}$$

6. Найдем $$\frac{S}{\sqrt{6}}$$:

$$\frac{S}{\sqrt{6}} = \frac{27\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = 27$$

Ответ: 27