Найдите площадь S полной поверхности правильного тетраэдра, если высота его грани равна 3. В ответе запишите $$\frac{S}{\sqrt{3}}$$.

Правильный тетраэдр состоит из четырех равносторонних треугольников.

1. Выразим сторону равностороннего треугольника (a) через его высоту (h):

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = \frac{2h}{\sqrt{3}}$$

В нашем случае, h = 3, поэтому:

$$a = \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$

2. Найдем площадь одной грани (равностороннего треугольника):

$$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 3 = 3\sqrt{3}$$

3. Площадь полной поверхности тетраэдра:

$$S = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 3\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$$

4. Найдем значение $$\frac{S}{\sqrt{3}}$$:

$$\frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12$$

Ответ: 12