593 Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если: а) AB = 10 см, ВС = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C= ∠D= 60°, AB = BC = 8 см; в) ∠C=∠D = 45°, АВ = 6 см, ВС = 9√2 см.

a) Дано: трапеция $$ABCD$$, $$AB = 10 \text{ см}$$, $$BC = DA = 13 \text{ см}$$, $$CD = 20 \text{ см}$$. Нужно найти площадь трапеции $$S$$.

Проведем высоты $$BH$$ и $$AE$$ из вершин $$B$$ и $$A$$ к основанию $$CD$$. Так как трапеция равнобедренная, то $$DE = HC = \frac{CD - AB}{2} = \frac{20 - 10}{2} = 5 \text{ см}$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle BHC$$. По теореме Пифагора:

$$BH = \sqrt{BC^2 - HC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту:

$$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot BH = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180 \text{ см}^2$$

б) Дано: трапеция $$ABCD$$, $$AB = BC = 8 \text{ см}$$, $$∠C = ∠D = 60^\circ$$.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Проведем высоты $$BH$$ и $$AE$$ из вершин $$B$$ и $$A$$ к основанию $$CD$$.

Так как углы $$∠C$$ и $$∠D$$ равны $$60^\circ$$, рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle BHC$$. В нем $$BC = 8 \text{ см}$$. Тогда $$HC = BC \cdot \cos{60^\circ} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см}$$. А высота $$BH = BC \cdot \sin{60^\circ} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}$$.

Так как $$AB = 8 \text{ см}$$, то $$CD = AB + 2HC = 8 + 2 \cdot 4 = 16 \text{ см}$$.

Площадь трапеции:

$$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot BH = \frac{8 + 16}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \text{ см}^2$$

в) Дано: трапеция $$ABCD$$, $$∠C = ∠D = 45^\circ$$, $$AB = 6 \text{ см}$$, $$BC = 9\sqrt{2} \text{ см}$$.

Проведем высоты $$BH$$ и $$AE$$ из вершин $$B$$ и $$A$$ к основанию $$CD$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle BHC$$. В нем $$BC = 9\sqrt{2} \text{ см}$$. Так как $$∠C = 45^\circ$$, то $$BH = BC \cdot \sin{45^\circ} = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9 \text{ см}$$. И $$HC = BC \cdot \cos{45^\circ} = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9 \text{ см}$$.

Тогда $$CD = AB + 2HC = 6 + 2 \cdot 9 = 24 \text{ см}$$.

Площадь трапеции:

$$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot BH = \frac{6 + 24}{2} \cdot 9 = 15 \cdot 9 = 135 \text{ см}^2$$

Ответ: а) 180 см², б) $$48\sqrt{3}$$ см², в) 135 см².