599 В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса г. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна 26 см, r = 4 см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.

а) Дано: прямоугольный треугольник, гипотенуза $$c = 26 \text{ см}$$, радиус вписанной окружности $$r = 4 \text{ см}$$.

В прямоугольном треугольнике $$r = \frac{a + b - c}{2}$$, где $$a$$ и $$b$$ - катеты, $$c$$ - гипотенуза.

Тогда, $$a + b = 2r + c = 2 \cdot 4 + 26 = 8 + 26 = 34 \text{ см}$$.

Периметр треугольника $$P = a + b + c = 34 + 26 = 60 \text{ см}$$.

б) Дано: прямоугольный треугольник, точка касания делит гипотенузу на отрезки $$x = 5 \text{ см}$$ и $$y = 12 \text{ см}$$.

Тогда гипотенуза $$c = x + y = 5 + 12 = 17 \text{ см}$$.

Если в прямоугольный треугольник вписана окружность, то от вершины прямого угла до точки касания - $$r$$.

Пусть $$a$$ и $$b$$ - катеты, тогда $$a = r + x$$ и $$b = r + y$$.

По теореме Пифагора $$a^2 + b^2 = c^2$$.

$$(r + 5)^2 + (r + 12)^2 = 17^2$$ $$r^2 + 10r + 25 + r^2 + 24r + 144 = 289$$ $$2r^2 + 34r + 169 = 289$$ $$2r^2 + 34r - 120 = 0$$ $$r^2 + 17r - 60 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 289 + 240 = 529$$ $$r = \frac{-17 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{-17 \pm 23}{2}$$

Так как радиус не может быть отрицательным, то $$r = \frac{-17 + 23}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}$$.

Катеты $$a = 3 + 5 = 8 \text{ см}$$ и $$b = 3 + 12 = 15 \text{ см}$$.

Периметр $$P = a + b + c = 8 + 15 + 17 = 40 \text{ см}$$.

Ответ: а) 60 см, б) 40 см.