6. Найдите производную функцию f(x) = √x (7x²-x).

Решение:

Сначала преобразуем функцию, представив корень как степень:

\[ f(x) = \sqrt{x} (7x^2 - x) = x^{1/2} (7x^2 - x) \]

Раскроем скобки:

\[ f(x) = 7x^{5/2} - x^{3/2} \]

Теперь найдем производную, используя правило производной степенной функции:

\[ f'(x) = (7x^{5/2} - x^{3/2})' = 7 \cdot \frac{5}{2} x^{3/2} - \frac{3}{2} x^{1/2} \]\[ f'(x) = \frac{35}{2} x^{3/2} - \frac{3}{2} x^{1/2} \]

Вынесем за скобки \( \frac{1}{2}x^{1/2} \):

\[ f'(x) = \frac{1}{2}x^{1/2} (35x - 3) \]

Или, возвращаясь к виду с корнем:

\[ f'(x) = \frac{\sqrt{x}}{2} (35x - 3) \]

Ответ: \( f'(x) = \frac{\sqrt{x}}{2} (35x - 3) \)