7. Решите уравнение f'(x)=5, если f(x) = x³-x²+4x.

Решение:

Дано \( f(x) = x^3 - x^2 + 4x \).

Найдем производную \( f'(x) \):

\[ f'(x) = (x^3 - x^2 + 4x)' = 3x^2 - 2x + 4 \]

Теперь решим уравнение \( f'(x) = 5 \):

\[ 3x^2 - 2x + 4 = 5 \]\[ 3x^2 - 2x - 1 = 0 \]

Решим квадратное уравнение \( 3x^2 - 2x - 1 = 0 \) через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \]\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \]

Ответ: \( x_1 = 1, x_2 = -\frac{1}{3} \)