8. Найдите производную функцию f(x)= -10/x , используя определение производной.

Решение:

Дано \( f(x) = -\frac{10}{x} \).

Определение производной:

\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]

Найдем \( f(x + \Delta x) \):

\[ f(x + \Delta x) = -\frac{10}{x + \Delta x} \]

Теперь подставим в определение производной:

\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\frac{10}{x + \Delta x} - (-\frac{10}{x})}{\Delta x} \]\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\frac{10}{x + \Delta x} + \frac{10}{x}}{\Delta x} \]\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{-10x + 10(x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x} \]\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{-10x + 10x + 10\Delta x}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x} \]\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{10\Delta x}{x(x + \Delta x)\Delta x} \]\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{10}{x(x + \Delta x)} \]

Теперь устремим \( \Delta x \) к 0:

\[ f'(x) = \frac{10}{x(x + 0)} = \frac{10}{x^2} \]

Ответ: \( f'(x) = \frac{10}{x^2} \)