9. Решите неравенство f'(x) <0, если f(x)=(x-3)(x+2)².

Решение:

Дано \( f(x) = (x - 3)(x + 2)^2 \).

Найдем производную \( f'(x) \):

\[ f'(x) = (x - 3)'(x + 2)^2 + (x - 3)((x + 2)^2)' \]\[ f'(x) = 1 \cdot (x + 2)^2 + (x - 3) \cdot 2(x + 2) \cdot 1 \]\[ f'(x) = (x + 2)^2 + 2(x - 3)(x + 2) \]\[ f'(x) = (x + 2)[(x + 2) + 2(x - 3)] \]\[ f'(x) = (x + 2)(x + 2 + 2x - 6) \]\[ f'(x) = (x + 2)(3x - 4) \]

Теперь решим неравенство \( f'(x) < 0 \):

\[ (x + 2)(3x - 4) < 0 \]

Найдем нули производной:

\[ x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \]\[ 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3} \]

Теперь методом интервалов определим знаки производной на каждом интервале:

• Интервал \( x < -2 \): возьмем \( x = -3 \), тогда \( f'(-3) = (-3 + 2)(3 \cdot (-3) - 4) = (-1)(-9 - 4) = (-1)(-13) = 13 > 0 \)
• Интервал \( -2 < x < \frac{4}{3} \): возьмем \( x = 0 \), тогда \( f'(0) = (0 + 2)(3 \cdot 0 - 4) = (2)(-4) = -8 < 0 \)
• Интервал \( x > \frac{4}{3} \): возьмем \( x = 2 \), тогда \( f'(2) = (2 + 2)(3 \cdot 2 - 4) = (4)(6 - 4) = (4)(2) = 8 > 0 \)

Таким образом, \( f'(x) < 0 \) на интервале \( -2 < x < \frac{4}{3} \).

Ответ: \( -2 < x < \frac{4}{3} \)