54. Найдите tga, если cosa = 1 √26 и α∈(-3π/2;5π/2)

Ответ: -5

Дано \(\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{26}}\) и \(\alpha \in \left(-3\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right)\).

Найдем \(\sin \alpha\) с помощью основного тригонометрического тождества: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).

Выразим \(\sin \alpha\):

\(\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \pm \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{26}}\right)^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{1}{26}} = \pm \sqrt{\frac{25}{26}} = \pm \frac{5}{\sqrt{26}}\)

В интервале \(\alpha \in \left(-3\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}\right)\) косинус отрицателен, синус может быть как положительным, так и отрицательным. Определим знак синуса, учитывая, что косинус отрицателен. Если \(\alpha \in \left(-3\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}\right)\), то \(\alpha\) находится либо во II, либо в III четверти. Поскольку косинус отрицателен, это означает, что угол находится во II четверти. Во II четверти синус положителен, поэтому \(\sin \alpha = \frac{5}{\sqrt{26}}\).

Найдем тангенс угла \(\alpha\):

\(\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{5}{\sqrt{26}}}{-\frac{1}{\sqrt{26}}} = -5\)

Ответ: -5