10. Найдите все значения числа а, при которых уравнение (а+3)х²+(а+4)x +2=0 имеет единственный корень.

Рассмотрим уравнение $$(a+3)x^2 + (a+4)x + 2 = 0$$.

Уравнение имеет единственный корень в двух случаях:

1. Уравнение является линейным, то есть коэффициент при x² равен 0, а коэффициент при x не равен 0. То есть, a+3 = 0, и a+4 ≠ 0.
2. Уравнение является квадратным и имеет единственный корень, то есть его дискриминант равен 0. То есть, a+3 ≠ 0, и D = 0.

Рассмотрим первый случай:$$a + 3 = 0 \Rightarrow a = -3$$$$a + 4
e 0 \Rightarrow -3 + 4
e 0 \Rightarrow 1
e 0$$Таким образом, a = -3 является одним из решений.

Теперь рассмотрим второй случай, когда уравнение является квадратным, то есть a ≠ -3. В этом случае уравнение имеет вид: $$(a+3)x^2 + (a+4)x + 2 = 0$$.Чтобы уравнение имело единственный корень, его дискриминант должен быть равен 0:$$D = (a+4)^2 - 4 Imes (a+3) Imes 2 = 0$$$$a^2 + 8a + 16 - 8(a+3) = 0$$$$a^2 + 8a + 16 - 8a - 24 = 0$$$$a^2 - 8 = 0$$$$a^2 = 8$$$$a = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$$Таким образом, $$a = 2\sqrt{2}$$ и $$a = -2\sqrt{2}$$ являются решениями.

Ответ: $$a = -3, a = 2\sqrt{2}, a = -2\sqrt{2}$$