8. Решите уравнение (х-1)(x-2)(x-3)(x-4)=3, используя метод замены переменной.

Решим уравнение $$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3$$ методом замены переменной.

Сгруппируем множители:$$[(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)] = 3$$

Упростим каждую группу:$$[x^2 - 5x + 4][x^2 - 5x + 6] = 3$$

Введем замену переменной: $$t = x^2 - 5x$$. Тогда уравнение примет вид: $$(t + 4)(t + 6) = 3$$

Раскроем скобки:$$t^2 + 10t + 24 = 3$$

Перенесем все в одну сторону:$$t^2 + 10t + 21 = 0$$

Решим это квадратное уравнение относительно t:

$$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 Imes 1 Imes 21 = 100 - 84 = 16$$

$$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{16}}{2 Imes 1} = \frac{-10 \pm 4}{2}$$

$$t_1 = \frac{-10 + 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

$$t_2 = \frac{-10 - 4}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$

Теперь вернемся к замене $$x^2 - 5x = t$$.

1. Если $$x^2 - 5x = -3$$, то $$x^2 - 5x + 3 = 0$$.
   Решим это уравнение: $$D = (-5)^2 - 4 Imes 1 Imes 3 = 25 - 12 = 13$$
   $$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{13}}{2 Imes 1} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$$.
   Таким образом, $$x_1 = \frac{5 + \sqrt{13}}{2}, x_2 = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}$$.
2. Если $$x^2 - 5x = -7$$, то $$x^2 - 5x + 7 = 0$$.
   Решим это уравнение: $$D = (-5)^2 - 4 Imes 1 Imes 7 = 25 - 28 = -3$$.
   Так как D < 0, уравнение не имеет вещественных корней.

Ответ: $$\frac{5 + \sqrt{13}}{2}, \frac{5 - \sqrt{13}}{2}$$