Найдите x, y. 5) В треугольнике ABC CD — биссектриса, ∠A = 15°, AC = √3, BD = y, CD = x. На рисунке у C отмечен прямой угол между AC и CB.

На рисунке угол между AC и CB прямой, значит треугольник ABC прямоугольный, а CD — биссектриса угла C. Следовательно, ∠C = 90°, ∠A = 15°, ∠B = 75°.

В прямоугольном треугольнике \(BC=AC\tan15^\circ=\sqrt3(2-\sqrt3)=2\sqrt3-3\).

По теореме синусов для стороны AB: \(\dfrac{AB}{\sin90^\circ}=\dfrac{AC}{\sin75^\circ}\), поэтому \(AB=\dfrac{\sqrt3}{\sin75^\circ}=3\sqrt2-\sqrt6\).

По теореме о биссектрисе \(\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{2\sqrt3-3}{\sqrt3}=2-\sqrt3\). Тогда \(BD=\dfrac{AB(2-\sqrt3)}{1+2-\sqrt3}=AB(2-\sqrt3)=6\sqrt2-4\sqrt3-3\sqrt6+6\).

Для длины биссектрисы используем формулу \(CD=\dfrac{2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos45^\circ}{AC+BC}\). Подстановка даёт \(CD=\sqrt{6}(2\sqrt3-3)/(\sqrt3+2\sqrt3-3)=\dfrac{3\sqrt2(2\sqrt3-3)}{3\sqrt3-3}\).

Ответ: \(x=\dfrac{3\sqrt2(2\sqrt3-3)}{3\sqrt3-3}\), \(y=6\sqrt2-4\sqrt3-3\sqrt6+6\).