Найдите значение выражения: 1) \( 6^{-2} + \left(\frac{9}{4}\right)^{-1}; \) 2) \(\frac{8^{-4} · 8^{-9}}{8^{-12}}.\)

Решение:

1) \( 6^{-2} + \left(\frac{9}{4}\right)^{-1} \)

Вспомним свойства степеней:

• \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
• \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \)

\( 6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36} \)

\( \left(\frac{9}{4}\right)^{-1} = \frac{4}{9} \)

Теперь сложим:

\( \frac{1}{36} + \frac{4}{9} = \frac{1}{36} + \frac{4 \u00B7 4}{9 \u00B7 4} = \frac{1}{36} + \frac{16}{36} = \frac{1+16}{36} = \frac{17}{36} \).

2) \(\frac{8^{-4} · 8^{-9}}{8^{-12}}\)

Используем свойства степеней:

• \( a^m · a^n = a^{m+n} \)
• \( a^m : a^n = a^{m-n} \)

В числителе:

\( 8^{-4} · 8^{-9} = 8^{-4+(-9)} = 8^{-13} \).

Теперь разделим:

\( \frac{8^{-13}}{8^{-12}} = 8^{-13 - (-12)} = 8^{-13+12} = 8^{-1} \).

\( 8^{-1} = \frac{1}{8} \).

Ответ: 1) \( \frac{17}{36} \); 2) \( \frac{1}{8} \).