Вычислите: 1) $ (27 · 3^{-6})^2 · (9^{-1})^{-2}; $ 2) $\frac{(-64)^{-4} · 8^3}{16^{-3}}.$

Question

Вопрос: $Фото задания: Вычислите: 1) $ (27 · 3^{-6})^2 · (9^{-1})^{-2}; $ 2) $\frac{(-64)^{-4} · 8^3}{16^{-3}}.$$ Фото задания

Accepted Answer

1) $ (27 · 3^{-6})^2 · (9^{-1})^{-2} $

Представим числа в виде степеней тройки:

$ 27 = 3^3 $

$ 9 = 3^2 $

Подставим и упростим:

$ (3^3 · 3^{-6})^2 · ((3^2)^{-1})^{-2} $

$ (3^{3-6})^2 · (3^{2 · (-1)})^{-2} $

$ (3^{-3})^2 · (3^{-2})^{-2} $

$ 3^{-3 · 2} · 3^{-2 · (-2)} $

$ 3^{-6} · 3^{4} = 3^{-6+4} = 3^{-2} $.

$ 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} $.

2) $\frac{(-64)^{-4} · 8^3}{16^{-3}}$

Представим числа в виде степеней двойки:

$ -64 = -2^6 $

$ 8 = 2^3 $

$ 16 = 2^4 $

Подставим и упростим:

$ \frac{(-2^6)^{-4} · (2^3)^3}{(2^4)^{-3}} = \frac{(-2)^{-24} · 2^{9}}{2^{-12}} $

Заметим, что $ (-2)^{-24} = ((-1) · 2)^{-24} = (-1)^{-24} · 2^{-24} $. Так как $ -24 $ — чётное число, $ (-1)^{-24} = 1 $.

$ = \frac{2^{-24} · 2^{9}}{2^{-12}} = \frac{2^{-24+9}}{2^{-12}} = \frac{2^{-15}}{2^{-12}} $

$ = 2^{-15 - (-12)} = 2^{-15+12} = 2^{-3} $.

$ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} $.

Ответ: 1) $ \frac{1}{9} $; 2) $ \frac{1}{8} $.

Вычислите: 1) \( (27 · 3^{-6})^2 · (9^{-1})^{-2}; \) 2) \(\frac{(-64)^{-4} · 8^3}{16^{-3}}.\)